Tirare La Cinghia Ci Riallineerà?

[odnalor]

Per indurre un autocentratura della cinghia, una puleggia bombata è progettata con diametri terminali più piccoli del diametro centrale. Questo crea superfici affusolate su cui si muove la cinghia, che spinge i suoi bordi verso il centro della puleggia. I diversi diametri corrispondono a circonferenze diverse attorno alla puleggia.
Sotto tensione, la cinghia si conforma al profilo della bombatura, con la forza di trazione applicata più grande nell'area centrale della cinghia. Questo corrisponde al diametro / circonferenza maggiore della puleggia. Durante il funzionamento, la cinghia e la puleggia si muovono insieme in questa zona di maggiore forza di contatto. Quando il diametro / la circonferenza della puleggia diminuisce gradualmente verso le estremità, la lunghezza del percorso della cinghia sulla puleggia e la forza di contatto diminuiscono proporzionalmente. Sebbene il percorso della cinghia sulle estremità rastremate della puleggia cambi, i bordi della cinghia a queste estremità devono continuare a muoversi con il centro della cinghia. Di conseguenza, i bordi della cinghia scivolano contro le estremità rastremate della puleggia, e lo fanno di più dove la differenza nella lunghezza del percorso della cinghia è maggiore. La forza di contatto decrescente in queste aree aiuta a facilitare lo scorrimento. È questo slittamento tra la cinghia e le estremità rastremate della puleggia che genera la reazione di attrito e le forze risultanti che spingono i bordi della cinghia verso il suo centro.

(è solo la traduzione della parte in inglese del post sopra)

[odnalor]

Comunque momenti e vettori a parte, il succo del funzionamento, è questo:
i punti su una sezione trasversale di una cinghia devono avere tutti la stessa velocità altrimenti si fessurerebbe e andrebbe in pezzi mentre quelli della puleggia bombata, avendo diametri diversi, no.
Però le velocità sulla superficie di un cono sono diverse in ragione dei diversi diametri, se viste rispetto al proprio asse, sul quale ruota, ma sono uguali se viste rispetto ad un asse parallelo alla generatrice. Questo moto sarebbe più complesso, e in questo sistema di riferimento non ruoterebbe semplicemente, ci sarebbe anche una precessione. Tipo trottola....

Ci devono quindi essere slittamenti e attriti se vediamo la cinghia come “rigidamente” perpendicolare all’asse della puleggia o incurvamenti “alla Matthias” se vediamo la cinghia come elastica e disposta a fasciare la puleggia. Probabilmente ci sono entrambe le cose e il peso relativo varia a seconda se la cinghia sia la lama di una nastro in acciaio o un nastro trasportatore in gomma.

Secondo me però il caso delle due pulegge cilindriche ad assi sghembi non dimostra quale sia la più appropriata delle due visioni. Semplicemente non è pertinente perché non è sufficiente che un lato della cinghia sia più teso dell’altro per fare un modello della puleggia bombata; deve esserci un disadattamento delle velocità, dovuto ai diversi diametri della “bombatura”.

Mi riservo di approfondire lo studio che hai linkato.

Rimango in attesa di conferme o smentite

[Bric]

Concordo sull'analisi, che sostanzialmente conferma la mia tesi sulle diverse velocità periferiche nelle varie sezioni della puleggia bombata (crescente verso il centro della bombatura.
Non condivido, o almeno non comprendo, invece la tua affermazione (la parte in rosso)

...
Però le velocità sulla superficie di un cono sono diverse in ragione dei diversi diametri, se viste rispetto al proprio asse, sul quale ruota, ma sono uguali se viste rispetto ad un asse parallelo alla generatrice. Questo moto sarebbe più complesso, e in questo sistema di riferimento non ruoterebbe semplicemente, ci sarebbe anche una precessione. Tipo trottola....
...

Il problema delle pulegge cilindriche su assi sghembi è proprio quello che la velocità periferica è costante, quindi non si ha l'effetto di maggiore o minore trascinamento, ma solo lo scivolamento della cinghia verso la zona in cui ha minore tensione.
Mi pare che il fenomeno dell'autocentraggio necessiti comunque di una, seppur minima, elasticità della cinghia/nastro.
Possiamo immaginare una squadra di persone disposte in linea e che si tengono per la mano: supponiamo che stiano su una serie di tappeti trasportatori che viaggiano a velocità diverse. Chi sta sul tappeto più veloce trascina il compagno del tappeto un po' più lento, tirandolo in avanti, ma anche verso di sé, e lo stesso succede per il secondo, che trascina il terzo e così via.

[Bric]

Proseguendo con l'esempio delle persone in linea, se la persona sul tappeto più veloce fosse il primo della linea, si troverebbe in breve a subire una pressione laterale tale da farlo scendere e finire sul tappeto accanto, più lento. La cosa prosegue finché la persona che si trova al centro della linea non si trovi a subire uguale pressione (stesso numero di persone) da entrambi i lati.
Se le persone fossero invece agganciate ad una barra completamente rigida (teoricamente), il più veloce li trascinerebbe tutti in avanti, senza tirarli verso di sé. Nel caso della puleggia, oltre a tutto, con i piedi sollevati dai tappeti.

[odnalor]

Concordo sull'analisi, che sostanzialmente conferma la mia tesi sulle diverse velocità periferiche nelle varie sezioni della puleggia bombata (crescente verso il centro della bombatura.
Non condivido, o almeno non comprendo, invece la tua affermazione (la parte in rosso)

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Però le velocità sulla superficie di un cono sono diverse in ragione dei diversi diametri, se viste rispetto al proprio asse, sul quale ruota, ma sono uguali se viste rispetto ad un asse parallelo alla generatrice. Questo moto sarebbe più complesso, e in questo sistema di riferimento non ruoterebbe semplicemente, ci sarebbe anche una precessione. Tipo trottola....
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il cono sarebbe un altro modo di fare una (mezza) puleggia “bombata”.
Nell’ovoide di prima, il sollevamento è causato da una forza il cui momento fa variare la direzione del momento angolare. Una sorta di precessione, ma mentre quest’ultima è causata dalla forza peso ed in particolare dal suo momento, nel sollevamento è coinvolto l’attrito. In entrambi i casi come risultato vengono generati dei movimenti anti-intuitivi, perpendicolari alla forza che li hanno indotti.
Questo accade anche per la cinghia che è fatta ruotare su un cono. L’asse di rotazione è quello del cono ma il momento angolare della cinghia che lo avvolge è più diretto lungo la generatrice ed è per questo che salta fuori una forza piuttosto anti-intuitiva che chiama la cinghia a salire.

Il problema delle pulegge cilindriche su assi sghembi è proprio quello che la velocità periferica è costante, quindi non si ha l'effetto di maggiore o minore trascinamento, ma solo lo scivolamento della cinghia verso la zona in cui ha minore tensione.

giusto ma dove sta il “puzzle”? Da qui, https://www.lockhaven.edu/~dsimanek/make/crowned.htm, viene la figura sotto. Ma se si dice che il modello della cinghia elastica è inadeguato, come mai lo si usa come test?

Mi pare che il fenomeno dell'autocentraggio necessiti comunque di una, seppur minima, elasticità della cinghia/nastro.

sono d’acccordo.

Possiamo immaginare una squadra di persone disposte in linea e che si tengono per la mano: supponiamo che stiano su una serie di tappeti trasportatori che viaggiano a velocità diverse. Chi sta sul tappeto più veloce trascina il compagno del tappeto un po' più lento, tirandolo in avanti, ma anche verso di sé, e lo stesso succede per il secondo, che trascina il terzo e così via.

Perdonami, il paragone è suggestivo ... ma se la squadra sta a bordo della cinghia, o “è” la cinghia, non mi spiega ancora come possa risalire fino a posizionarsi a cavallo del punto di diametro max.
Temo che questo sia uno di quei casi nei quali, se si vuole una descrizione completa, bisogna fare un atto di fede nelle formule, perchè ogni spiegazione intuitiva, pare incompleta.

PS questa ultima versione delle persone sul tappeto appare migliore

PPS https://phys.org/news/2018-03-egg.html (per curiosità)

[odnalor]

già postata molte volte, ma chi sono questi due vecchietti che rischiano la propria schiena per osservare da vicino una... trottola? La risposta potrà stupire.... se non la sapete già

[Bric]

Quella della barra rigida non è una ulteriore versione delle persone sui tappeti, è semplicemente una considerazione della necessità di una minima flessibilità della cinghia.
Proprio grazie alla flessibilità dell'unione tra le persone (in effetti sarebbe più corretto immaginare le persone sottobraccio anziché tenute per mano, in modo da tener conto della pressione tra una e l'altra, e non solo della trazione), si genera una componente di forza trasversale.
Le persone "costituiscono" le parti della cinghia e, ovviamente, occorre immaginare una serie continua di linee di persone, una dietro l'altra: un corteo, insomma.
Riguardo alla affermazione che le velocità sulla superficie del cono sarebbero uguali se viste rispetto ad un asse parallelo alla generatrice, questa non mi trova d'accordo, mi spieghi perché dovrebbe essere così?
Il paradosso del puzzle (solo apparentemente un paradosso) in realtà dimostra che non è la differenza di tensione sulla cinghia a generare la forza di risalita. Quello che cambia, nei due esperimenti (puleggia bombata e pulegge piane su assi sghembi) è proprio il fatto che le velocità periferiche delle sezioni di puleggia sono diverse nel primo caso ed uguali nel secondo.
Personalmente, visto sotto questa luce, il fenomeno mi pare abbastanza intuitivo.

[odnalor]

Quella della barra rigida non è una ulteriore versione delle persone sui tappeti, è semplicemente una considerazione della necessità di una minima flessibilità della cinghia.
Proprio grazie alla flessibilità dell'unione tra le persone (in effetti sarebbe più corretto immaginare le persone sottobraccio anziché tenute per mano, in modo da tener conto della pressione tra una e l'altra, e non solo della trazione), si genera una componente di forza trasversale.
Le persone "costituiscono" le parti della cinghia e, ovviamente, occorre immaginare una serie continua di linee di persone, una dietro l'altra: un corteo, insomma.

come sia definibile “minima” non so, ma ho capito

Riguardo alla affermazione che le velocità sulla superficie del cono sarebbero uguali se viste rispetto ad un asse parallelo alla generatrice, questa non mi trova d'accordo, mi spieghi perché dovrebbe essere così?

Dunque si doveva in tal caso immaginare un moto complicato.. una precessione della puleggia. Ma tant’è: immaginiamo una puleggia formata da due tronchi di cono uniti dalla base e due possibili assi di rotazione che passano per il centro della base. Una tale situazione sembra assurdamente complicata per questa puleggia ma se si immaginano volani grandi con una bombatura minima, forse potrebbe pure verificarsi in caso di sbandieramento. Entrambi i casi comunque vedono la cinghia girare attorno alla generatrice del cono (qui le due cinghie per non complicare il disegno vanno in direzioni diverse) ma mentre nel caso blu la puleggia gira in asse e sollecita la cinghia a diverse velocità periferiche, nel caso rosso le velocità sono tutte uguali a omegaxr. Il caso rosso dunque non genera forze di risalita, quello blu si. Se non sbaglio...
Questo discorso serviva a confrontare questo problema a quello dell’ovoide piroettante, quindi era un ipotesi.. ma secondo me le similitudini sono molte.

Il paradosso del puzzle (solo apparentemente un paradosso) in realtà dimostra che non è la differenza di tensione sulla cinghia a generare la forza di risalita. Quello che cambia, nei due esperimenti (puleggia bombata e pulegge piane su assi sghembi) è proprio il fatto che le velocità periferiche delle sezioni di puleggia sono diverse nel primo caso ed uguali nel secondo.
Personalmente, visto sotto questa luce, il fenomeno mi pare abbastanza intuitivo.

Forse ora,.. ma “intuitivo” per me vuol dire che senza grossi sforzi si riesce ad prevedere come si sviluppa un fenomeno. Io credo che senza aver mai visto una puleggia bombata e ragionando con il solo intuito, non ci sarei arrivato, poi è pure vero che non sono affatto esperto in meccanica
Avevo ben capito il “paradosso del puzzle” ma appunto, come dici, non mi sembra si tratti di un paradosso. Quanto incidano l’elasticità, l’attrito, la tensione della cinghia, se siano minimi o determinanti non so dire...sono tutti fattori interdipendenti.
La forza di risalita salta fuori a parer mio dalla dinamica del corpo rigido che riserva, con i suoi prodotti vettori, strani comportamenti. Ci sono esperimenti sorprendenti con una trottola anche per due volponi come Niels Bohr e Wolfgang Pauli!

Edi: forse sul moto in rosso mi sbaglio in effetti.. perchè il contatto con la cinghia sarebbe molto ballerino e potrebbe dopo mezzo giro trovarsi a scivolare giu la cinghia verso sx

[odnalor]

eh già, ho sbagliato Pino. Grazie di avermelo segnalato.
in realtà un cono che ruota attorno ad un asse sghembo ha velocità uguali solo in una particolare posizione ma poi ruotando sarebbe una puleggia assai sghemba e farebbe scivolar fuori la cinghia. Come vedi il mio intuito lascia molto a desiderare...

[Bric]

Il doppio cono che hai disegnato ruota comunque attorno all'asse ripassato in blu e, ovviamente con una velocità angolare propria.
Giustamente la velocità periferica è funzione del raggio, ma sia la cinghia rossa che quella blu sono a contatto con zone della puleggia a raggi diversi e quindi con velocità periferiche differenti.
Questo non si verifica, ovviamente, con le pulegge piane, che siano sghembe o meno, avendo raggio costante.
P.s. vedo che hai già risposto.

[Bric]

Ma... ragionando un po' meno intuitivamente: secondo te sarebbe corretto pensare che sulla superficie del cono, e quindi sulla cinghia che lo abbraccia, passando da velocità più basse a quelle più elevate, quindi verso la base del cono, vi sia una accelerazione, che, conseguentemente, genera una forza?

[odnalor]

Il doppio cono che hai disegnato ruota comunque attorno all'asse ripassato in blu e, ovviamente con una velocità angolare propria.

Nell’ipotesi ruotava (in alternativa) anche rispetto all’asse ripassato in rosso, che non è un asse principale di inerzia. ma che garantiva, nella posizione disegnata, che le velocità tangenziali trasmesse alla cinghia, fossero tutte uguali visto che distavano uguale dall’asse di rotazione che (ripeto) non è quello di simmetria. Il mio pessimo intuito mi ha impedito di pensare all’evoluzione di un moto simile. Bastava figurarsi cosa succede dopo mezzo giro come dire fotografare una trottola in due istanti successivi e sperare di trovare due foto sovrapponibili...

[odnalor]

Ma... ragionando un po' meno intuitivamente: secondo te sarebbe corretto pensare che sulla superficie del cono, e quindi sulla cinghia che lo abbraccia, passando da velocità più basse a quelle più elevate, quindi verso la base del cono, vi sia una accelerazione, che, conseguentemente, genera una forza?

uhm... non saprei ma secondo me ... non è l’accelerazione che genera una forza, ma il contrario. Può succedere che nelle osservazioni tu vedi una accelerazione in un fenomeno sconosciuto e quindi concludi che ci deve essere una forza, ma quando il fenomeno è compreso, bisogna capire da dove nasce la forza.

Il problema ulteriore che dicevo è che nelle rotazioni tutto si fa più complicato

la quantità di moto -> momento angolare
la massa -> il momento di inerzia (un tensore)
la velocità -> velocità angolare
la forza -> momento.

Molte delle operazioni tra queste grandezze sono vettoriali e quindi come ben sai ad esempio il prodotto dà vettori perpendicolari ai due che vengono “moltiplicati”. Ad esempio la massa è uno scalare e quindi la F = dp/dt ci dice che praticamente F = ma ma nelle rotazioni τ = dL/dt e a sua volta il momento τ = r x F fa diventare tutto oltremodo complicato.... guarda sta trottola...

[youtube]_tdKo5_oKqI[/youtube]

[Roland]

Quando non si riesce a venire a capo di un problema, non conviene incaponirsi ma staccare. il difficile è riuscirci
succede spesso che, pensando ad altre cose, un possibile modo alternativo di vedere il problema ti si presenti davanti, in un nuova luce.
Pensando a come l’assale rigido di un treno, con ruote coniche, segua il binario lungo il tracciato per un continuo feedback di riaggiustamenti continui, ho trovato una spiegazione che cercavo qui sul perchè una cinghia si tiene centrata su una puleggia bombata.

[youtube:49e29c9a]Ku8BOBwD4hc[/youtube:49e29c9a]

Questo signore si diverte con due bicchieri di plastica uniti facendoli rotolare su due binari inclinati. spiega efficacemente il perchè il doppio cono stabile dinamicamente non è quello più sottile al centro ma quello bombato.
Peraltro “simile” alla puleggia delle levigatrici/carteggiatrici a nastro da banco. Se provate a trascinare il nastro un po’ fuori, non appena lo mollate esso tornerà al centro spontaneamente pur dovendo “risalire” la bombatura..
Se immagino di mettermi nel sistema di riferimento dell’assale, e di vedere i binari mobili, mi metto in quelle ipotesi. La sola differenza è che i punti di contatto sono 2 per i binari mentre è un profilo continuo o una superfice per il nastro, ma non è così importante: se immagino una perturbazione sul nastro tendente a “spuleggiarlo giu”, equivalente al caso di quando l’assale tende ad uscire da un lato, la reazione naturale sarà di rotolare da quella parte su un diametro maggiore rispetto alla opposta, “guadagnare terreno” e raddrizzarsi.
Magari non è molto distante dalla spiegazione di MW, ma a me viene piu comprensibile così...

[Edo]

Spiegazione impeccabile ed efficace!