Esagono Inscritto In Un Rettangolo

[pontello]

Non ho capito nemmeno io come hai ricavato quella relazione.

Ho avuto il tempo di disegnare quello che avevo in testa... Lasciamo perdere
Mi appello alla clemenza della corte
GP

[kakilandian]

Apprezzo sempre molto i tuoi interventi, kakilandian, ma stavolta non sono d'accordo riguardo la minore accuratezza del metodo grafico, per lo meno nell'utilizzo pratico.
Quando ho letto la domanda ho cercato anch'io la soluzione con Pitagora ricavandone una equazione di secondo grado che dà le soluzioni già riportate sopra, ma avrei di gran lunga preferito (ci ho provato, ma senza successo) escogitare un metodo grafico, che ritengo più elegante.
Comunque, una volta trovata matematicamente la misura, non vedo modo più accurato che riportarla sul disegno con il compasso.

Ti ringrazio innanzitutto. Un metodo grafico è per sua stessa natura pratico e lavora sul materiale.
Dunque posso essere d’accordo che non soffre dell’errore insito nella trascrizione finale della misura a bordo del pezzo. Ma se anche mettiamo in conto che questa avvenga con un compasso, è una unica operazione. Invece un metodo grafico ha solitamente alcuni passaggi (tipo tracciare una parallela o una perpendicolare o un arco di cerchio e valutare le intersezioni. Ciascuno di questi è soggetto ad errore, che si propaga sull’accuratezza finale
Poi il compasso non è l’unico modo, ad esempio stavo cercando per dati a e b l’angolo di “uscita” dal vertice dei lati. Ecco che in quel caso potrebbe essere un goniometro o protractor (anche se magari persino meno accurato) oppure si potrebbe trattare di una distanza dal bordo ed allora un truschino o un calibro potrebbero essere utili.
Oppure ancora un disegno al cad 1:1 che appoggio sul pezzo e foro in corrispondenza...
Sull’eleganza posso anche qui essere d’accordo ma è una cosa soggettiva.. Pochi percepiscono l’eleganza nei numeri o in certe formule. Esempio: se si guardano le semplici espressioni dietro il piatto di ilbisius, possono risultare stupefacente per alcuni, per altri noiose, per altri ancora, quelli che considerano queste cose un orpello alla pratica, e non la sua sublimazione, uno sterile esercizio.

[slave]

Premetto che ringrazio ancora tutti (hal9000 e kakilandian in particolare) per il risultato e la formula , spero di non creare nessun fraintendimento e di spiegarmi al meglio delle mie capacità.
A prescindere dal fatto che chiedendo lumi su una costruzione geometrica potrei avere anche la fortuna di capire il percorso logico della sequenza (per me la soddifazione sarebbe capire non quella di non essere aiutato) vengo al dunque:
mi sembra fin dall'inizio discussione di aver insistito proprio per un metodo di costruzione geometrico, (per il mio tipo di memoria ovviamente) e non analitico; infatti ricordo solo un pò di trigonometria ma non le equazioni di secondo grado dell'anno precedente delle superiori..... (mea culpa). per questo parlo di ascensore per arrivare ad una soluzione che non entra più nelle mie capacità attuali.
Sono della stessa idea di Bric, riguardo all'accuratezza ed agli errori potrei dire che nulla mi vieterebbe di ottenere un risultato molto preciso della misura del lato andando a disegnare la costruzione dell'esagono con autocad per poi tracciare a compasso sul pezzo da lavorare (cosa che farei anche col metodo analitico del resto); per me resta molto più semplice e soprattutto piacevole eseguire un disegno piuttosto che usare la calcolatrice (senza nessuna accusa verso i numeri....) le costruzioni geometriche le ricordo anche dopo anni cosa che non succederebbe con la formula di "hal9000"



p.s. cmq non credo che un equazione di secondo grado sia un "formuletta" alla portata di tutti

[NeneF40]

Mi intrometto nella discussione... Per esprimere un mio pensiero

Qualcuno diceva che i metodi grafici sono meno precisi di quelli algebrici...

Nulla di più sbagliato.. risolvere un problema di geometria graficamente è la stessa cosa di risolverlo algebricamente..

Algebra e geometria vanno a braccetto.. trovare una soluzione mettendo a sistema alcune formule trigonometriche equivale a ricavare la soluzione tramite varie costruzioni geometriche..

In questo caso viene più facile il calcolo algebrico

Ma se si dovesse ricavare un esagono regolare inscritto in un quadrato con tre passaggi grafici avremmo la soluzione.

La mia l'ho detta
Ciao

[kakilandian]

Mi intrometto nella discussione... Per esprimere un mio pensiero

Qualcuno diceva che i metodi grafici sono meno precisi di quelli algebrici...

presente!

Nulla di più sbagliato.. risolvere un problema di geometria graficamente è la stessa cosa di risolverlo algebricamente..

Algebra e geometria vanno a braccetto.. trovare una soluzione mettendo a sistema alcune formule trigonometriche equivale a ricavare la soluzione tramite varie costruzioni geometriche..

Forse dal punto di vista concettuale, ma se devi ricavarci dei numeri precisi, praticamente come faresti?
“Mettere a sistema delle formule trigonometriche” equivale ad infognarsi nella gran parte dei casi. Le funzioni trigonometriche spessissimo danno delle equazioni trascendenti cioè che non si possono risolvere.
Da wiki voce equazioni trascendenti: Tra le equazioni trascendenti più comuni vi sono: Le equazioni goniometriche o trigonometriche, in cui l'incognita appare come argomento delle funzioni goniometriche.

Ma se si dovesse ricavare un esagono regolare inscritto in un quadrato con tre passaggi grafici avremmo la soluzione.

Premesso che l’esagono mal si inscrive nel quadrato, giacchè la forma piu calzante è un rettangolo 2x rad(3) ma ok facciamo che lo ruotiamo e che accettiamo tocchi il quadrato in 4 vertici su 6, qual’è l’area della superficie del quadrato se l’esagono ha lato 1? se mostri come faresti graficamente, poi la confrontiamo con il valore algebrico

[Bric]

Non vedo contraddizione: secondo me si tratta di utilizzare lo strumento più opportuno o più comodo a seconda del caso.
Lo strumento algebrico è senz'altro di uso più generale, ma non lo userei, ad esempio, per disegnare un poligono regolare di cui conosco la costruzione grafica.
Nel caso specifico, non individuandone una grafica, non vedo altro modo che la soluzione algebrica, anzi, probabilmente un artigiano tradizionale userebbe un terzo metodo: quello delle approssimazioni successive, tecnica spesso indispensabile ed efficace, anche se appare di più basso livello. E magari avrebbe risolto il problema pratico in meno tempo di quello che abbiamo impiegato per risolvere l'equazione.
Analizzando le proporzioni della piramide di Cheope sembrò che gli antichi egizi conoscessero il valore del pi greco. Ma, partendo dal cubito reale come unità di misura di lunghezza, è molto verosimile che per misure di distanze più importanti usassero dischi o rulli del diametro di uno o due cubiti contando il numero di rotazioni. Ed ecco che, pur senza conoscerne effettivamente il valore, finivano per introdurre il pi greco nelle proporzioni.

[kakilandian]

Non vedo contraddizione: secondo me si tratta di utilizzare lo strumento più opportuno o più comodo a seconda del caso.
Lo strumento algebrico è senz'altro di uso più generale, ma non lo userei, ad esempio, per disegnare un poligono regolare di cui conosco la costruzione grafica.
Nel caso specifico, non individuandone una grafica, non vedo altro modo che la soluzione algebrica, anzi, probabilmente un artigiano tradizionale userebbe un terzo metodo: quello delle approssimazioni successive, tecnica spesso indispensabile ed efficace, anche se appare di più basso livello. E magari avrebbe risolto il problema pratico in meno tempo di quello che abbiamo impiegato per risolvere l'equazione.
Analizzando le proporzioni della piramide di Cheope sembrò che gli antichi egizi conoscessero il valore del pi greco. Ma, partendo dal cubito reale come unità di misura di lunghezza, è molto verosimile che per misure di distanze più importanti usassero dischi o rulli del diametro di uno o due cubiti contando il numero di rotazioni. Ed ecco che, pur senza conoscerne effettivamente il valore, finivano per introdurre il pi greco nelle proporzioni.

Sono d’accordo. Quello iterativo o delle approssimazioni successive ha una sua dignità anche nelle discipline scientifiche, e anzi ci sono dei metodi elegantissimi ricursivi o iterativi. Qui poi se uno dovesse fare spesso una cosa del genere si potrebbe fare un regolo apposito tipo metro pieghevole a 6 segmenti chiuso Dato il rettangolo a,b con a>b uno lo stiracchia conservando il parallelismo dei lati opposti e quando ha raggiunto una proporzione a/b misura la posizione del vertice incognito e poi la scala di conseguenza. Su π e φ non vale poi la pena di specularci molto: che siano numeri speciali non ci piove, ma che gli antichi fossero a conoscenza di questo e costruissero su questa base è tutto da vedere. Per pi greco vi è recentemente una revisione critica che lo vorrebbe meno importante di τ=2π, e su phi credo che gli esoterici della sacred geometry c’hanno ricamato abbastanza

[slave]

da appassionato di metodi di costruzione geometrica ho provato a calcolare (disegnando con autocad) l'area del quadrato circoscritto all'esagono regolare con lato 1...... risultato: 3,7320507976077225
spero sia giusta

[kakilandian]

direi di si. io ho fatto così, senza calcolatrice, ne grafica, con il computer ma solo come pezzo di carta per scriverci su. Fino al quadrato rosso cerco il lato, poi quadro.

alla fine uso la calcolatrice che mi da 3,73205080756888

ora voglio vedere i “3 passaggi grafici” di neneF40.....

[NeneF40]

Disegno il quadrato, disegno il cerchio inscritto nel quadrato e poi su questo cerchio procedo con la costruzione di un esagono.

Intendevo questo...

[kakilandian]

Disegno il quadrato, disegno il cerchio inscritto nel quadrato e poi su questo cerchio procedo con la costruzione di un esagono.

Intendevo questo...

qualcuno sopra avrebbe detto: Nulla di più sbagliato.
Già rigorosamente non si potrebbe inscrivere un esagono in un quadrato perchè “Si dice che un poligono è inscritto in un altro se TUTTI i suoi vertici vi appartengono e con un quadrato non si può, al massimo 4.
Ma se inscrivi un esagono in una circonferenza e poi questa nel quadrato l’esagono tocca il quadrato in 2 punti solamente.

[NeneF40]

Apparte il risultato in questo caso..

Quello che intendevo è proprio quello che che scritto negli ultimi post
Tu hai fatto i calcoli e hai lo stesso risultato di quello che si potrebbe disegnare con i passaggi che ho scritto io...

La definizione di iscritto neanche le la ricordo è passato troppo tempo da quando ho studiato certe cose

[kakilandian]

Apparte il risultato in questo caso..

Quello che intendevo è proprio quello che che scritto negli ultimi post
Tu hai fatto i calcoli e hai lo stesso risultato di quello che si potrebbe disegnare con i passaggi che ho scritto io...

eh no se permetti io ho postato un risultato ottenuto “analiticamente”, slave “numericamente” con autocad e l’accordo è buono, ma non vedo nessun risultato ottenuto con i passaggi che hai scritto tu e se ne venisse uno sarebbe sbagliato poichè la figura che tu descrivi è diversa

La definizione di iscritto neanche le la ricordo è passato troppo tempo da quando ho studiato certe cose

pensa a me che riesco ancora a scrivere, non so mica come faccio, sono più di 50 anni che ho studiato l’alfabeto!

[NeneF40]

Aspetta aspetta... Il tuo risultato è analitico... ok

Quello di slave e stato ottenuto come? Numericamente?

AutoCAD e un semplice mezzo per disegnare geometricamente.

Il risultato di slave e geometrico, non come hai definito tu..

Purtroppo non ho tempo di prendere il libri di algebra e geometria per rinfrescare tutto e risponderti a tono...

P.s.
Riesci a scrivere ancora dopo 50 anni che hai studiato l'alfabeto perché anche se non te ne accorgi lo rinfreschi ogni volta che scrivi fesserie....

[kakilandian]

Aspetta aspetta... Il tuo risultato è analitico... ok

Quello di slave e stato ottenuto come? Numericamente?

AutoCAD e un semplice mezzo per disegnare geometricamente.

credi? guarda che D sta per design, non per drawing. I CAD incorporano ormai da tempo metodi numerici per il calcolo a vari livelli, ...“In early CAD systems, computer programs used numerical methods to simulate real events, evaluate and analyze structures, and calculate optimal performance levels”
anche restando nella geometria piana, quando tu porti una linea ad unirsi ad un altra vai oltre qualsiasi limite di visibilità, tu non unisci delle linee di matita di spesssore finito, ma dei punti di estensione infinitesima. Come definiresti questo? geometria numerica? o “semplice mezzo per il disegno”? Altrimenti come mi spieghi che la diferenza tra il valore analitico e quello col CAD è meno di una parte per miliardo? Io sto ancora aspettando il risultato del tuo metodo grafico, ma se sarà entro 1 per mille dai nostri sarà un gran risultato. E questo perchè può pure essere che un metodo grafico su legno vada bene per i nostri scopi, ma non è mai preciso come uno analitico o calcolato al computer (numerico). Io questo dicevo prima di scoprire che non vi sarebbe nulla di piu sbagliato.

P.s.
Riesci a scrivere ancora dopo 50 anni che hai studiato l'alfabeto perché anche se non te ne accorgi lo rinfreschi ogni volta che scrivi fesserie....

Dimostralo che scrivo fesserie. Finora ti stai dando delle gran zappate sui piedi